小时候每个人最早接触的折纸，应该都是纸飞机，它流畅的外形加上简洁的线条，每个人都能够很轻易的学会，到了后来渐渐接触更多如千纸鹤等，其他一些入门级的折纸，为童年生活增添了不少乐趣。在我们的日常生活中纸张通常扮演着无处不在却易被小觑的配角。或作为文字的载体，或包裹重要的实体。而在一些聪明人手中，它们似乎“活”过来了，有了全新、立体的角色定位。01折出圆锥曲线“你会用纸折小船吗？”“会！”“你还会折些什么呢？”“我会折的东西多啦，飞机、亭子、鸟、衣服，……，我能折好几十种东西呢。我还会用花纸折成小三角，再拼成许多立体图形，菠罗呀什么的。”“那你真可以叫折纸专家了。不过我想问你：你能折出一条抛物线来吗？”……那么，请你取一张纸，靠底折一条横线L，再竖着对折一条竖线MN，在WN上取一点F，只要F不是MN与L的交点就行。下面你就开始折纸了。当你把纸折过来，让F落到L上时，就得到一条折痕。就这样不断地改变点F落在L上的位置，于是就得到一系列的折痕，当折痕足够密的时候，你再打开纸仔细看看！哈，一条抛物线跃然纸上。这是什么缘故呢？大家知道，抛物线是二次函数y＝ax2＋bx＋C（a≠0）的图形。不过抛物线还有一个悖性：抛物线上任何一点到一定点F及一定直线L的距离相等，这是解析几何中抛物线的定义。可以证明，满足这个条件的点组成的图形在适当的坐标系里正是二次函数的图形。这里L叫抛物线的准线，F叫抛物线的焦点。下面我们就用这个特性来说明这个问题： 设点F与L上的点P重合时，得到的折痕为直线n。作PT⊥L交直线n于T。由于直线n是FP的垂直平分线，故FT＝PT，而FT是T与点F的距离，PT是点T与l的距离，于是可知T点在以l为准线F为焦点的抛物线上，当改变P的位置时，点T就画出一条抛物线来了。而对于直线n上异于T地点T′，作T′P′⊥l，就有FT′＝T′P＞T′P′。这就是说，直线n上异于T地点都在这条抛物线外。（就是说，直线n与抛物线切于点T）所以，这条抛物线实际上是用这些切线“围”出来的。“化直为曲”，一系列的直线围出了一条曲线。数学里有个专门名词，称抛物线是这一系列直线（直线族）的“包络”。再来看一种包络抛物线：大家知道，高射炮弹在空中飞行的轨迹（在理论上，不计空气阻力时）是一条抛物线。高射炮炮管的仰角不同，就可以得到不同的抛物线。所有这些抛物线（抛物线族）有一条“包络”。这条包络也是抛物线，只要飞机在这包络之外飞行，就不会被高射炮击中。因此，这条包络又称为“安全抛物线”。上面讲的是用折纸的办法得到一条抛物线。其实还可用折纸的办法得到一个椭圆。这只要先画（或剪）一个圆O，在圆内任取一点F，（F不与O重合）。然后就开始折纸。每次都让点F与圆周上的不同点重合，而得到不同的折痕，当折痕足够多时，你就可以发现，这些折痕就围出了一个椭圆。实际上，椭圆是到两个给定点距离之和为定值（定值大于两定点距离）地点的轨迹，设点F与圆周上点P重合时的折痕为MN连OP交MN于T，贝OT＋TF＝OT＋TP＝圆的半径（为定值）。这就说明当P在圆周上运动时，点T就“动”出一个椭圆来。同样也可知MN上其它点到O与F距离和大于圆的半径。就是说，MN上其它点都在椭圆外，它又是椭圆的切线，这些“直线族”的“包络”是椭圆。假如让点F与O重合，或把点F放到圆O外去，就可以分别得到“圆”与“双曲线”，你看，折纸还真有点名堂呢。我们也可以这样折出椭圆曲线来，手头只有一个圆，怎么尽可能标准地画一个椭圆？折纸就可以办到。在圆中随意地选取一个圆心以外的点，不断地折叠圆形，让选中的点始终落在圆的边界上。经过不断的折叠，在圆中有一块区域，折痕始终进不去，通过严格的数学计算可以证明这就是一个椭圆，圆心和选定的点即为椭圆的两个焦点。实际上最开始我们把另一个焦点选在圆心上，我们就只能得到圆了。我们可以使用类似的思路得到其他的图形，比如，我们选择的折痕把整个图形的面积分为特定的比例。如下图按照9:1的比例将半圆的面积一分为二，得到的曲线像一滴水滴的横截面。这种利用不断变化的线段围成的曲线被称为包络线。02龙形曲线在无聊的时候，很多人会有拿起手头的纸乱叠的癖好。不断地对折一条纸带，然后将其展开，让线段之间的夹角均为90度，我们就能得到一条龙形曲线[5]——因为它真的长得很像一条龙。不过因为叠纸的厚度增长是指数型的，每次折叠以后纸的厚度都会变为折叠前的两倍，所以在折叠6-7次以后就无法折叠了。所以我们在现实生活中看到的龙形曲线并不那么完美。所幸计算机技术已经十分发达，利用计算机，我们可以看到折纸生成大型龙形曲线的样子。因为龙形曲线最早由NASA物理学家JohnHeighway等人开始相关探索和研究，所以也被称为Heighway曲线。说起龙形曲线本身最吸引科学家
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